Bayes Teoremi Nedir?

‘’Credo ut intelligam(Anlayayım diye inanıyorum)’’

Anselm of Canterbury

İnanmak, bir şeyin var olduğuna ya da gerçek olduğuna emin olmak olarak tanımlanabilir. Ancak yaşadığımız dünyada pek çok belirsizlik mevcut. Bu kadar belirsizliğin içinde karar vermekse oldukça zor. Ortaçağ düşünürlerinden Anselm’in de değindiği gibi inançlarımız belirsizlikleri ortadan kaldırıp karar vermemize yardımcı olabilir. Bayes teoremi insan beyninin bu belirsizlikler karşısında inançlara dayanarak nasıl işlediğini açıklayabilir.

18. yüzyıl matematikçilerinden Thomas Bayes’in geliştirdiği teorem kan tahlili testlerinden spam filtrelemeye kadar kullanılsa da bizim odaklanacağımız kısım insan zihnini anlamak olacaktır. Bayes belirsizliği ifade etmek için frekanslara odaklanmak yerine olasılığı işaret etmiştir ve bu yönüyle frekansçı ekolden farklılaşır. Teoremin en ilginç yanı öznelliği de işin içine katmasıdır. Teoremde H bir hipotez, E gözlemlenmiş kanıt olmak üzere formül şu şekildedir: P(H/E)= P(E/H)x P(H)/P(E). Formülde hipotezin kanıta sahip olmadan önceki olasılığı P(H), hipotezin kanıta sahip olduktan sonraki olasılığı P(H/E) ile ilişkilendirilir. P(H) önsel (prior) olasılık, P(H/E) koşulsuz (posterior) olasılık, bu iki olasılığı birbirine bağlayan P(E/H)/P(E) olasılık oranı olarak adlandırılır.

Bayes teoremi bir olayın olmasına yönelik inanç seviyemizi ifade eden öznel olasılıktan bahseder. Olasılığın yorumu verilen olayın olacağına ne kadar inandığımızla alakalıdır. İnançlarımız ise tecrübelerimiz ve sahip olduğumuz bilgiler doğrultusunda şekillenir. Önsel olasılığı değiştirirsek yani yeni bilgilere ya da kanıta ulaşırsak inancımız değişecek, olasılığımız güncellenecektir. Ne kadar çok yeni kanıta ulaşırsak o kadar doğru kararlar verebiliriz. Fakat her kanıt doğru bir karar alınmasını sağlamayabilir. Aslında kanıtın inançlarımız üzerindeki etkisi bizim değerlendirmelerimize bağlıdır. Mesela kanıtı görmezden gelebiliriz, böylece yeni kanıt kararımız üzerinde bir etki oluşturmaz. Kanıtı sadece daha önceki tecrübelerimizle aynı doğrultuda olduğu için kabul edebiliriz. Bu durumda yeni kanıt en doğru kararı vermemize yardım etmeyebilir.

Günlük Yaşamda Bayes Teoremi

Günlük hayatta Bayes teoremini farkında olmadan kullanıyoruz. Her yeni bilgide olasılık da değişiyor. Örneğin, kampüste Mert isimli içine kapanık bir öğrenci olsun ve onun hangi bölümde okuduğunu bulmaya çalışalım, seçeneklerimiz de bilgisayar mühendisliği ve hukuk. Onun içine kapanık olduğunu biliyoruz, eğer mühendislik öğrencilerinin %70’inin içine kapanık olduğuna inanıyorsak Mert’in bölümünün bilgisayar mühendisliği olduğuna karar verebiliriz. Yeni bir bilgi olarak üniversitede 40 bilgisayar mühendisliği öğrencisi ve 200 hukuk fakültesi öğrencisi olduğunu öğrenirsek kararımız güncellenebilir. Hukuk öğrencilerinin sadece %20’sinin içine kapanık olduğunu düşünsek bile Mert’in hukuk okuyor olma olasılığı bilgisayar mühendisliğinden daha yüksek olacaktır.

İnsan zihnini çalışırken inançları görmezden gelemeyiz. Örneğin bir kumar bağımlısı tüm parasını kaybetmesine rağmen kumar oynamaya devam edebilir. Frekansçı ekole göre bu kişi “çok düşük şansım var belli %5, bu sebeple oynamamalıyım” diye düşünüp kumar oynamayı bırakmalı. Ancak bu düşünce çok robotik ve insan zihnini açıklamakta yetersiz. Kumar bağımlıları genelde kumar oynamaya devam eder ve “inanıyorum bu sefer kazanacağım” gibi söylemlerde bulunur. İnsan zihnini anlamaya çalışırken özellikle yukarıdaki örneklerde ve benzerlerinde Bayes teoremi daha işlevseldir.